CURVAS Y SUPERFICIES 05/05/2012

Curvas y superficies en 2D y 3D

Índice

•Curvas en 2D y 3D

–Introducción

–Interpolación lineal

–Curvas de Bezier

–Curvas Spline

–Curvas B-Spline

•Superficies en 3D

–Interpolación bilineal

–Parches bicúbicos

Introducción

•Representación paramétrica vs implícita o explícita

–paramétrica es más flexible

–curvas componentes: C(t) = (x(t), y(t))

•Interpolación vs. aproximación: puntos de control

–interpolación: curva ha de pasar por una serie de puntos (importancia de los puntos)

–aproximación: curva según unos puntos de control (importancia de curva)

•Propiedades deseables:

–representación paramétrica

–suave: Cn, en curvas componentes

–sin oscilaciones (wiggles)

–local: cambio de un punto afecta a entorno reducido

–fácil de calcular: poco coste computacional

Interpolación lineal

•Dado un conjunto de puntos se interpolan usando rectas entre ellos.

•Sencillo.

•La curva es continua pero no sus derivadas.

•Curva local: la modificación de un punto afecta a dos intervalos.

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Interpolación lineal

Entre dos puntos se define

una línea recta.

X(t) = mx t + bx

Con las condiciones

X(t=0) = X0

X(t=1) = X1

Para el primer intervalo y la primera coordenada.

Curvas de Bezier

• •       Es un sistema desarrollado hacia los años setenta del siglo XX, para el trazado de dibujos técnicos, en el diseño aeronáutico y de automóviles. Su denominación es en honor a Pierre Bezier quien ideó un método de descripción matemática de las curvas que se comenzó a utilizar con éxito en los programas de CAD.
  •       Posteriormente, los inventores del PostScript, introdujeron en ese código el método de Bezier para la generación del código de las curvas y los trazados.
  
  
   •       Se denomina curva Bézier asociada a (n + 1) puntos P0, P1,...,Pn a la curva parametrizada, definida para t∈[0,1], cuyos puntos vienen dados mediante la siguiente expresión
  •  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
       en la que los Bi,n(t) son los polinomios de Bernstein de grado n.
  •       Los puntos P0, P1, ..., Pn que determinan una curva de Bézier se denominan puntos de control, y la poligonal que los une es el polígono Bézier o B-polígono.
   •       Los polinomios de Bernstein de grado n, que denotamos por B_0,n(t), B_1,n(t), ..., B_n,n(t), son
  
  
  
  •       B_0,1(t) = (1 - t), B_1,1(t) = t;
  •       B_0,2(t) = (1-t)², B_1,2(t) = 2(1-t)t, B_2,2(t) = t²;
  •       B_0,3(t) = (1-t)³, B_1,3(t) = 3(1-t)²t, B_2,3(t) = 3(1-t)t², B_3,3(t) = t³.
  •       A medida que aumenta el número de puntos, aumenta el grado de la curva.
  •       Se limita a 4 el numero de puntos de control y el polinomio es de grado 3.
   •       Dibujamos una curva:
  •       Dados los puntos P₀=(1, 1), P₁=(2, 4), P₂=(5, 3), la curva Bézier asociada tiene las siguientes ecuaciones paramétricas
  •       x(t) = B_0,2(t) + 2B_1,2(t) + 5B_2,2(t) = 1+2t+2t2
  •       y(t) = B_0,2(t) + 4B_1,2(t) + 3B_2,2(t) = 1+6t-4t2
  
  
  
  
  

•       La curva de Bezier empieza en P₀ y termina en P_n-1

•       El vector tangente a la curva P(t) en el punto P₀ tiene la dirección del vector P₀P₁

•       El vector tangente a la curva P(t) en el punto P_n tiene la dirección del vector P_n-1P_n.

•       La modificación de un punto de control afecta a toda la curva que define.

Splines Cúbicos

•       Interpolan entre dos puntos utilizando un polinomio de grado 3

•       Los polinomios de grado 3 son los de menor grado que permiten la existencia de un punto de inflexión.

•       Intentan evitar oscilaciones y complejidad de interpolación polinómica, al aumentar el número de puntos

•       Si el polinomio es de grado m, 3 en este caso, se puede imponer que la curva global sea continua hasta el orden m-1 (Cm-1), en este caso: grado 2. Es decir, podemos imponer que sea continua la curva, la primera y la segunda derivada, es decir, curvas suaves.

 Splines Cúbicos

•       Spline cúbico (x(u), y(u)) que pasa por los n+1 puntos P₀, P₁, ... P_n para los valores del parámetro {u₀, u₁, ... u_n}

•       Se buscan n polinomios cúbicos (grado 3) para cada coordenada, (q_i(u), p_i(u)), definidos en intevalo [u_i,u_i+1] , que empalmen con continuidad C2 (2ª derivada) en cada valor del parámetro u_i

•       Condiciones: 2n + n-1 + n-1 = 4n-2
q_i(u_i) = x_i ; q_i(u_i+1) = x_i+1 i=0,1,...,n-1 2n condiciones Continuidad curva

•       q_i'(u_i+1) = q_i+1'(u_i+1)i=0,1,...,n-2   n-1 condiciones Cont. prim. Deriv.

•       q_i''(u_i+1) = q_i+1''(u_i+1)i=0,1,...n-2   n-1 condiciones Cont. Seg. Deriv.

•       Incógnitas: 4n
q_i(u) = a_i + b_iu + c_iu² + d_iu³

•       Faltan 2 condiciones extra

 •       Natural Cubic Splines:

–     Condiciones extra: derivada segunda nula en los extremos, u₀ , u_n

 Splines cúbicos

•       Curva interpolante, con segmentos polinómicos (curvas componentes)

•       Representación paramétrica

•       Suave: C2 (curvas componentes)

•       Sin oscilaciones: grado cúbico de los polinomios evita oscilaciones

•       No local: el cambio de un punto afecta a los polinomios de todos segmentos (ver el sistema (n+1) x (n+1))

•       Relativamente fácil de calcular: el sistema de ecuaciones es tridiagonal

•       Se ha sacrificado la suavidad (no mucho) para evitar las oscilaciones

•       Para hacer las curvas locales, hay que eliminar el requerimiento de que interpole

 Curvas B Spline

•Caso más general que Bezier.

  Las curvas de Bezier son un tipo de B-Splines.

•Ventaja sobre Bezier: los puntos de control no se alejan tanto de la forma que queremos modelar, por lo que podemos asemejarnos más al modelo sin necesidad de utilizar muchos puntos de control.

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•Propiedades:

–Envolvente convexa.

–Invarianza afín.

–Control local.

•       Igual que Bézier, dado un conjunto de puntos P₀, ., P_n, determinamos una curva compuesta de varios tramos, tal que se aproxime al polígono de control, y que las ecuaciones de cada tramo estén influenciadas solamente por k vértices del polígono de control siendo k un parámetro elegido a voluntad por el diseñador y, lógicamente, k ≤ n + 1

 Curvas B Spline

•       Obsérvese que hay que definir un vector T de nodos, que suele ser un conjunto de números naturales separados por una unidad (aunque puede hacer cualquier otra elección).

 Propiedades

•        No interpolan

•       Paramétricas

•       Suavidad Cm-2: m es orden de B-spline

•       No oscilan

•       Locales

•       Difíciles de calcular salvo casos especiales con fórmula matricial: B-Splines uniformes, Bézier

•       Mayor flexibilidad: elección de nodos permite más tipos de curvas

 Calculo de B splines

•http://www.pdipas.us.es/e/esplebrue/ampcap5a_0506.pdf

Polinomios de Hermite

•       Se busca una función de interpolación H_n(x) que sea cúbica en cada subintervalo y que interpole a la curva y a su primera derivada en los puntos que introduce el usuario.

•       La función H_n(x) queda determinada en forma única por estas condiciones y su cálculo requiere de la solución de n sistemas lineales de tamaño 4x4 cada uno.

•       La desventaja de la interpolación de Hermite es que requiere de la disponibilidad de las primeras derivadas, lo cual no es el caso en muchas aplicaciones.

 Polinomios de Hermite

•       Para cada bintervalo entre dos puntos que introduce el usuario ( p₀ y p₁ ) con tangente en el punto inicial m₀ y en el punto final m₁, el polinomio se define como:

•       donde t ∈ [0, 1].

•       Observese que en el polinomio aparecen los valores de p y m.

Polinomios de Hermite

•       Como cada subintervalo comparte tangentes copn los vecinos hay varias técnicas para definir los valores de las tangentes.

–     Cardinal spline

–     Catmull-Rom spline

–     Kochanek-Bartels spline

 Polinomios de Hermite

•       En Informática Gráfica los más utilizados son los  splines de Catmull-Rom.Sobre todo cuando lo que se desea es interpolar movimiento de forma suave entre varios frames. Por ejemplo cuando la cámara se está moviendo y tenemos unos frames clave y queremos interpolar el movimiento entre ellos.

•       La ventaja es que es fácil de calcular, garantizan la posicion en los frames clave (es una interpolacion) y garantizan que la tangente de la curva generada es contínua a lo largo de múltiples segmentos.

 •       Dados (n+1) puntos p₀, ..., p_n, para interpolarlos con n segmentos de curva de tipo polinomios cúbicos de Hermite se divide la curva global en intervalos cada uno de los cuales empieza en un punto p_i y termina en p_i+1 siendo la tangente inicial m_i y la final m_i+1 y se definen las tangentes por medio de la fórmula:

•        

Nota: debo definir m₀ y m

 Demo

•       Saltos en el ejemplo cuando la interpolación del movimiento es lineal, movimiento suave en la interpolación de catmull-rom. Obtenido de http://www.mvps.org/directx/articles/catmull/

 Superficies 3D. Interpolación Bilineal

•       La interpolación bilineal calcula los puntos intermedios mediante la siguiente ecuación:

•       V (x, y) = ax +by+cxy+ d

•       donde x e y representan la distancia al punto o esquina superior izquierda del entorno.

•       Los coeficientes a,b,c,d deben calcularse de modo que se cumplan las siguientes igualdades:

•       V(x = 0,y = 0) = P(i, j)

•       V(x=1,y=0) = P(i+1, j)

•       V(x = 0,y = 1) = P(i, j + 1)

•       V(x=1,y=1) = P(i + 1, j + 1)

 Superficies en 3D

•Concepto de parche (patch)

Superficie como curva con puntos de control en una curva

•Funciones base son producto de funciones base de curvas: bij(s,t)=bi(s)bj(t)

•Matriz (malla) mxn de puntos de control: Pij, i=0,....m; j=0,...n

Conclusiones

•NURBS > B-Splines > Bezier.

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•Todos estos métodos son ayudas para el modelado, pero en el renderizado la GPU siempre va a utilizar triángulos.

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•El diseñador gráfico puede modelar formas curvas con facilidad y de forma intuitiva, y a la hora de renderizar se aplicará un algoritmo de subdivisión para convertir todo en triángulos.