TÉCNICAS PARA DIBUJAR

 PARA MAS INFORMACIÓN  VISITE

http://www.youtube.com/watch?v=_x5btpkeu7E

MODELO DE ILUMINACION 10/05/2012

http://virtual.usam.edu.sv/uvirtual/mod/resource/view.php?inpopup=true&id=7548

SISTEMA DE PARTICULAS 10/05/2012

Sistema de partículas (software)

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Animación por computadora

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La animación porcomputadora (también llamada animacióndigital , animación informática o animación por ordenador ) es latécnica que consiste en crear imágenes en movimiento mediante el uso de ordenadoreso computadoras. Cada vez más los gráficos creados son en 3D ,aunque los gráficos en 2D todavía se siguen usando ampliamente para conexiones lentasy aplicaciones en tiempo real que necesitan renderizar rápido. Algunas veces el objetivo de la animaciónes la computación en sí misma, otras puede serotro medio, como una película . Los diseños se elaboran con laayuda de programas de diseño, modelado y por último renderizado.

Para crear la ilusión del movimiento, una imagen se muestra en pantalla sustituyéndose rápidamente por una nueva imagen en un fotograma diferente. Esta técnica es idéntica a la manera en que se logra la ilusión de movimiento en las películas y en la televisión.

CURVAS Y SUPERFICIES 05/05/2012

Curvas y superficies en 2D y 3D

Índice

•Curvas en 2D y 3D

–Introducción

–Interpolación lineal

–Curvas de Bezier

–Curvas Spline

–Curvas B-Spline

•Superficies en 3D

–Interpolación bilineal

–Parches bicúbicos

Introducción

•Representación paramétrica vs implícita o explícita

–paramétrica es más flexible

–curvas componentes: C(t) = (x(t), y(t))

•Interpolación vs. aproximación: puntos de control

–interpolación: curva ha de pasar por una serie de puntos (importancia de los puntos)

–aproximación: curva según unos puntos de control (importancia de curva)

•Propiedades deseables:

–representación paramétrica

–suave: Cn, en curvas componentes

–sin oscilaciones (wiggles)

–local: cambio de un punto afecta a entorno reducido

–fácil de calcular: poco coste computacional

Interpolación lineal

•Dado un conjunto de puntos se interpolan usando rectas entre ellos.

•Sencillo.

•La curva es continua pero no sus derivadas.

•Curva local: la modificación de un punto afecta a dos intervalos.

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Interpolación lineal

Entre dos puntos se define

una línea recta.

X(t) = mx t + bx

Con las condiciones

X(t=0) = X0

X(t=1) = X1

Para el primer intervalo y la primera coordenada.

Curvas de Bezier

• •       Es un sistema desarrollado hacia los años setenta del siglo XX, para el trazado de dibujos técnicos, en el diseño aeronáutico y de automóviles. Su denominación es en honor a Pierre Bezier quien ideó un método de descripción matemática de las curvas que se comenzó a utilizar con éxito en los programas de CAD.
  •       Posteriormente, los inventores del PostScript, introdujeron en ese código el método de Bezier para la generación del código de las curvas y los trazados.
  
  
   •       Se denomina curva Bézier asociada a (n + 1) puntos P0, P1,...,Pn a la curva parametrizada, definida para t∈[0,1], cuyos puntos vienen dados mediante la siguiente expresión
  •  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
       en la que los Bi,n(t) son los polinomios de Bernstein de grado n.
  •       Los puntos P0, P1, ..., Pn que determinan una curva de Bézier se denominan puntos de control, y la poligonal que los une es el polígono Bézier o B-polígono.
   •       Los polinomios de Bernstein de grado n, que denotamos por B_0,n(t), B_1,n(t), ..., B_n,n(t), son
  
  
  
  •       B_0,1(t) = (1 - t), B_1,1(t) = t;
  •       B_0,2(t) = (1-t)², B_1,2(t) = 2(1-t)t, B_2,2(t) = t²;
  •       B_0,3(t) = (1-t)³, B_1,3(t) = 3(1-t)²t, B_2,3(t) = 3(1-t)t², B_3,3(t) = t³.
  •       A medida que aumenta el número de puntos, aumenta el grado de la curva.
  •       Se limita a 4 el numero de puntos de control y el polinomio es de grado 3.
   •       Dibujamos una curva:
  •       Dados los puntos P₀=(1, 1), P₁=(2, 4), P₂=(5, 3), la curva Bézier asociada tiene las siguientes ecuaciones paramétricas
  •       x(t) = B_0,2(t) + 2B_1,2(t) + 5B_2,2(t) = 1+2t+2t2
  •       y(t) = B_0,2(t) + 4B_1,2(t) + 3B_2,2(t) = 1+6t-4t2
  
  
  
  
  

•       La curva de Bezier empieza en P₀ y termina en P_n-1

•       El vector tangente a la curva P(t) en el punto P₀ tiene la dirección del vector P₀P₁

•       El vector tangente a la curva P(t) en el punto P_n tiene la dirección del vector P_n-1P_n.

•       La modificación de un punto de control afecta a toda la curva que define.

Splines Cúbicos

•       Interpolan entre dos puntos utilizando un polinomio de grado 3

•       Los polinomios de grado 3 son los de menor grado que permiten la existencia de un punto de inflexión.

•       Intentan evitar oscilaciones y complejidad de interpolación polinómica, al aumentar el número de puntos

•       Si el polinomio es de grado m, 3 en este caso, se puede imponer que la curva global sea continua hasta el orden m-1 (Cm-1), en este caso: grado 2. Es decir, podemos imponer que sea continua la curva, la primera y la segunda derivada, es decir, curvas suaves.

 Splines Cúbicos

•       Spline cúbico (x(u), y(u)) que pasa por los n+1 puntos P₀, P₁, ... P_n para los valores del parámetro {u₀, u₁, ... u_n}

•       Se buscan n polinomios cúbicos (grado 3) para cada coordenada, (q_i(u), p_i(u)), definidos en intevalo [u_i,u_i+1] , que empalmen con continuidad C2 (2ª derivada) en cada valor del parámetro u_i

•       Condiciones: 2n + n-1 + n-1 = 4n-2
q_i(u_i) = x_i ; q_i(u_i+1) = x_i+1 i=0,1,...,n-1 2n condiciones Continuidad curva

•       q_i'(u_i+1) = q_i+1'(u_i+1)i=0,1,...,n-2   n-1 condiciones Cont. prim. Deriv.

•       q_i''(u_i+1) = q_i+1''(u_i+1)i=0,1,...n-2   n-1 condiciones Cont. Seg. Deriv.

•       Incógnitas: 4n
q_i(u) = a_i + b_iu + c_iu² + d_iu³

•       Faltan 2 condiciones extra

 •       Natural Cubic Splines:

–     Condiciones extra: derivada segunda nula en los extremos, u₀ , u_n

 Splines cúbicos

•       Curva interpolante, con segmentos polinómicos (curvas componentes)

•       Representación paramétrica

•       Suave: C2 (curvas componentes)

•       Sin oscilaciones: grado cúbico de los polinomios evita oscilaciones

•       No local: el cambio de un punto afecta a los polinomios de todos segmentos (ver el sistema (n+1) x (n+1))

•       Relativamente fácil de calcular: el sistema de ecuaciones es tridiagonal

•       Se ha sacrificado la suavidad (no mucho) para evitar las oscilaciones

•       Para hacer las curvas locales, hay que eliminar el requerimiento de que interpole

 Curvas B Spline

•Caso más general que Bezier.

  Las curvas de Bezier son un tipo de B-Splines.

•Ventaja sobre Bezier: los puntos de control no se alejan tanto de la forma que queremos modelar, por lo que podemos asemejarnos más al modelo sin necesidad de utilizar muchos puntos de control.

•

•Propiedades:

–Envolvente convexa.

–Invarianza afín.

–Control local.

•       Igual que Bézier, dado un conjunto de puntos P₀, ., P_n, determinamos una curva compuesta de varios tramos, tal que se aproxime al polígono de control, y que las ecuaciones de cada tramo estén influenciadas solamente por k vértices del polígono de control siendo k un parámetro elegido a voluntad por el diseñador y, lógicamente, k ≤ n + 1

 Curvas B Spline

•       Obsérvese que hay que definir un vector T de nodos, que suele ser un conjunto de números naturales separados por una unidad (aunque puede hacer cualquier otra elección).

 Propiedades

•        No interpolan

•       Paramétricas

•       Suavidad Cm-2: m es orden de B-spline

•       No oscilan

•       Locales

•       Difíciles de calcular salvo casos especiales con fórmula matricial: B-Splines uniformes, Bézier

•       Mayor flexibilidad: elección de nodos permite más tipos de curvas

 Calculo de B splines

•http://www.pdipas.us.es/e/esplebrue/ampcap5a_0506.pdf

Polinomios de Hermite

•       Se busca una función de interpolación H_n(x) que sea cúbica en cada subintervalo y que interpole a la curva y a su primera derivada en los puntos que introduce el usuario.

•       La función H_n(x) queda determinada en forma única por estas condiciones y su cálculo requiere de la solución de n sistemas lineales de tamaño 4x4 cada uno.

•       La desventaja de la interpolación de Hermite es que requiere de la disponibilidad de las primeras derivadas, lo cual no es el caso en muchas aplicaciones.

 Polinomios de Hermite

•       Para cada bintervalo entre dos puntos que introduce el usuario ( p₀ y p₁ ) con tangente en el punto inicial m₀ y en el punto final m₁, el polinomio se define como:

•       donde t ∈ [0, 1].

•       Observese que en el polinomio aparecen los valores de p y m.

Polinomios de Hermite

•       Como cada subintervalo comparte tangentes copn los vecinos hay varias técnicas para definir los valores de las tangentes.

–     Cardinal spline

–     Catmull-Rom spline

–     Kochanek-Bartels spline

 Polinomios de Hermite

•       En Informática Gráfica los más utilizados son los  splines de Catmull-Rom.Sobre todo cuando lo que se desea es interpolar movimiento de forma suave entre varios frames. Por ejemplo cuando la cámara se está moviendo y tenemos unos frames clave y queremos interpolar el movimiento entre ellos.

•       La ventaja es que es fácil de calcular, garantizan la posicion en los frames clave (es una interpolacion) y garantizan que la tangente de la curva generada es contínua a lo largo de múltiples segmentos.

 •       Dados (n+1) puntos p₀, ..., p_n, para interpolarlos con n segmentos de curva de tipo polinomios cúbicos de Hermite se divide la curva global en intervalos cada uno de los cuales empieza en un punto p_i y termina en p_i+1 siendo la tangente inicial m_i y la final m_i+1 y se definen las tangentes por medio de la fórmula:

•        

Nota: debo definir m₀ y m

 Demo

•       Saltos en el ejemplo cuando la interpolación del movimiento es lineal, movimiento suave en la interpolación de catmull-rom. Obtenido de http://www.mvps.org/directx/articles/catmull/

 Superficies 3D. Interpolación Bilineal

•       La interpolación bilineal calcula los puntos intermedios mediante la siguiente ecuación:

•       V (x, y) = ax +by+cxy+ d

•       donde x e y representan la distancia al punto o esquina superior izquierda del entorno.

•       Los coeficientes a,b,c,d deben calcularse de modo que se cumplan las siguientes igualdades:

•       V(x = 0,y = 0) = P(i, j)

•       V(x=1,y=0) = P(i+1, j)

•       V(x = 0,y = 1) = P(i, j + 1)

•       V(x=1,y=1) = P(i + 1, j + 1)

 Superficies en 3D

•Concepto de parche (patch)

Superficie como curva con puntos de control en una curva

•Funciones base son producto de funciones base de curvas: bij(s,t)=bi(s)bj(t)

•Matriz (malla) mxn de puntos de control: Pij, i=0,....m; j=0,...n

Conclusiones

•NURBS > B-Splines > Bezier.

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•Todos estos métodos son ayudas para el modelado, pero en el renderizado la GPU siempre va a utilizar triángulos.

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•El diseñador gráfico puede modelar formas curvas con facilidad y de forma intuitiva, y a la hora de renderizar se aplicará un algoritmo de subdivisión para convertir todo en triángulos.